我们曾经学了二进制以及八，十六及各种进制的整数，以及它们的加减乘除四则运算．大家必然会提问：与十进制分数、小数类似的二进制分数、小数，如何推广过来？

　　一个二进制小数，不妨先讲纯小数：0＜n＜1，

　　n＝0.b1b2b3…bi…，每个bi或为0，或为1．（bi不全为0，也不全为1）．

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　　二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似，差别在于这里是"逢二进一"，"退一还二"．

　　十进制小数化为二进制小数，主要通过分数作中间媒介．

　　例将（0.3）10化为二进制小数．（用（a）k表示k进位数）．

　　这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数．

　　本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数．回忆十进制循环小数化分数，一是要学习推理中的思想方法，二是最好归纳成一个易用易记的公式．

　　十进制循环小数化分数一般公式：

　　这些公式的推导过程如下，请体会思想方法．

　　齐，消去了让人"害怕"的无限长（虽然是循环）的小数）：

　　至于混循环，只要借用已证得的公式①，因为

　　其实公式②中，当s＝0时，就是公式①，复杂的公式②是借用简单情况下的公式①推来．推出后①包含在②之中．

　　对于二进制循环小数化二进制分数，也可同样推导．

　　至于二进制混循环小数：也记这小数的整体为S．

　　从推导和记忆规则看，公式（1）和（2）与十进制公式①和②相仿．那么读者一定会归纳出任意进制的循环小数化分数的公式．

　　解：用公式（1）

　　例3 化（0.100111011）2为二进制分数．

　　解：由公式（2）

　　直接检验

　　现在再看推导公式的方法，关键是把循环小数的值设为S，好比列方程设未知数，而10kS－S恰好消去了"烫手"的无限长的小数部分，推出"方

　　这样的思想，在研究等比数列时也用到了．以前讲过有限项数列：a1，a2，a3，…，ai，…，an．所谓等比数列，即它每一项都是前一项乘上一公共值q，也即：

　　a1，a2＝a1q，a3＝a2q，…，ai＝ai－1q，…，an＝an－1q，

　　或

　　a1，a2＝a1q，a3＝a1q2，…，ai＝a1qi－1，…，an＝a1qn－1．

　　现在要求出a1＋a2＋a3＋…＋ai＋…＋an．

　　思想方法：第一步：

　　设S＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1．

　　上式两边乘上q，作为第二步：

　　qS＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn．

　　当q＜1时，用上式两边减下式两边，得到

　　S－qS＝a1－a1qn，

　　公式（3）称为公比小于1的等比级数前n项求和公式．它叙述为：前n项和等于首项与首项乘公比的n次幂的差除以1与公比之差．

　　例4

　　最后以一个很精彩的例来结束本节（本例选自美国1993年第四十四届高中数学竞赛第30题．虽是高中竞赛题，但本讲知识可解此题）

　　例5 x0是任意取定的数，满足0≤x0＜1，对于所有的自然数n，xn由下述递推的关系式确定：

　　求使得x0＝x5的x0的个数．

　　分析 所谓递推关系式，就是一旦给定了一个初始值x0，例如取x0＝

　　总之，后项取决于前项的2倍值，当前项2倍值大于1时，就取该值；不小于1时（决不会超过2）就取它与1的差值．）

　　如果我们设x0是一个二进制小数，即设x0＝（0.d1d2d3…）2，那么

　　2x0＝（10）2×（0.d1d2d3…）2＝（d1·d2d3d4…）2，

　　即2x0。只是把x0的二进制表示中的小数点向右移一位．因此2x0<1相当于d1＝0，2x0≥1相当于d1＝1；那么按递推关系式的规定，x1变得特别简明：

　　x1＝（0.d2d3d4d5…）2．

　　因为如果d1＝0，即2x0＜1，则x1＝2x0＝（0.d2d3d4…）2；如果d1＝1，即2x0≥1，则x1＝2x0－1＝（1.d2d3d4…）2－1＝（0.d2d3d4…）2，同样的规律，在由xi求xi＋1时也成立，i＝1，2，…，即

　　x2＝（0.d3d4d5d6…）2；x3＝（0.d4d5d6…）2；

　　x4＝（0.d5d6d7…）2；x5＝（0.d6d7d8…）2；

　　按条件应有x0＝x5，即：

　　（0.d1d2d3d4d5d6d7d8d9d10…）2＝（0.d6d7d8d9d10d11d12d13…）2，

　　这相当于x0是循环节为5的二进制纯循环小数，即

　　由于每一个di的值，只有0，1两种可能，所以：

　　x0有25＝32个可能值，它们依小到大排成：

　　但别忘了题设限定0≤x0＜a，x0小于1，而由公式（1）知循环小数