1、解答：第一步：求出，要使每只笼子里鸡的只数都不相同，5个笼子里至少有多少只鸡？1+2+3+4+5=15（只）。

　　第二步：先按第一步的算式放好15只鸡，再把剩下的5（20-15=5）只鸡，按要求（每只笼子里鸡的只数都不相同）添到5只笼子里，共有七种不同答案。

　　①把剩下5只鸡，都放到其中任何一个笼子里，可得五种答案：

　　6+2+3+4+5=20；1+7+3+4+5=20；1+2+8+4+5=20；

　　1+2+3+9+5=20；1+2+3+4+10=20。

　　②把剩下的5只鸡，分成1只和4只两组，分别放到两个笼子里，可得两种答案：

　　1+2+3+8+6=20；1+2+7+4+6=20。

　　2、解答：我们根据队列中最初的位置，按报数的顺序依次给每个学生编上序号1、2、3……，再让这列学生重复1、2报数。

　　①如果每次全队报完数之后，都是报1的学生出列，则：

　　第一次留下的学生是：2、4、6……，都是2的倍数；

　　第二次留下的学生是：4、8、12……，都是4（22）的倍数；

　　第三次留下的学生是：8、16、24……，都是8（23）的倍数；

　　……

　　②如果每次全队报完数之后，都是报2的学生出列，则：

　　第一次留下的学生是：1、3、5……，都等于2的倍数加1；

　　第二次留下的学生是：1、5、9……，都等于4（22）的倍数加1；

　　第三次留下的学生是：1、9、17……，都等于8（23）的倍数加1；

　　……

　　根据上面的分析可知，在这个游戏中有两条规律：一、按第①种规则游戏，n次后留下的学生中第一个的序号就是2n，最后留下的就是这列序号所含的2的最高次幂；二、按第②种规则游戏，则每次留下的学生中，第一个学生都是1号，直到最后留下的还是1号。

　　3、解答：解法一：从第一天开始，依次求出老奶奶家每天剩下的鸡蛋（头天剩下的+新下的一个蛋-吃掉的两个蛋）。

　　第一天：20+1-2=19；

　　第二天：19+1-2=18；

　　……；

　　一直算到第20天：1+1-2=0。

　　所以老奶奶家的鸡蛋可以连续吃20天。

　　解法二：老奶奶家每天要吃两个鸡蛋，老母鸡每天下一个鸡蛋，所以老奶奶每天只要从20个鸡蛋中取一个鸡蛋出来加上老母鸡下的蛋，就够吃了。20个鸡蛋，每天拿一个，可以拿20天，第21天只有老母鸡下的一个蛋， 不够吃一天。因此，所以老奶奶家的鸡蛋可以连续吃20天。

　　4、解答：由题目"小明拿的不是洋娃娃，也不是智力拼图"，可知道小明拿的是魔方，剩下智力拼图和洋娃娃两种礼品，又因为小刚拿的不是智力拼图，可知道小刚拿的是洋娃娃，剩下智力拼图就是小华的了。