解析：两个整数甲和乙，如果甲能被乙整除，那么甲与乙的差仍能被乙整除。由于每家电话号码能被门牌号整除，所以电话号码与门牌号的差也能被门牌号整除。电话号码是12个连续的自然数，门牌号也是1、2、3、、、12这12个连续的自然数，每家的电话号码与门牌号的差是同一个整数。它能被1、2、3、、、12这12个数整除，因此它是1、2、3、、、12这12个数最小公倍数的倍数，即27720的倍数，可以写成：27720×某个整数。

　　门牌号是9的这一家，电话号码是：27720×某个整数+9。因为它能被13整除，9除以13的余数是9，那么27720×某个整数除以13的余数应该是4，而27720=13×2132+4，27720×某个整数=（13×2132+4）×某个整数，说明4×某个整数除以13的余数是4，那么某个整数除以13的余数应该是1，这样的整数可能是1、14、27、、、、

　　由于这家的电话号码首位小于6，经尝试，27720×14+9=388089符合题意.所以，这家电话号码是388089