在2013年小升初中，奥数竞赛占了一个非常重要的位置。也可以说奥数就是重点中学的一块小小的敲门砖，可以让你在小升初择校过程中事半功倍。下面是奥数网小编整理的2013年数学竞赛解题密匙，希望对大家有所帮助。

四、假设问题——以“假”求“真”，化难为易

　　用假设的方法来解答问题是一种极其重要的思维方法。恩格斯曾经指 出：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设。”

　　科学史上的许多有重大影响的科学理论，如门捷列夫的元素周期表、哥 白尼的太阳中心说等等，最初就是以假设的形式出现的。

　　在解答数学问题中，假设未知数为 x，列出方程进行解题，就是建立在 假设的思想基础上的。由于假设，可以把未知看作已知，可以把复杂的数量 关系简单化。我国古代算术中的“鸡兔同笼”问题，就是用假设法来解的， 它往往先假设某种现象的存在，得到和已知条件不同的“差异”，再分析“差 异”的原因，进行适当的调换，使问题得到解决。

　　例 1 笼中共有鸡兔 100 个头，350 只脚，问鸡兔各有多少头?(1990 年济南市历下区小学数学五年级竞赛题)

　　分析：假设 100 头全为兔，则应有 4×100=400 只脚，比实际多了 400-350=50 只脚，如果把一只兔换成一只鸡，那么可减少 4-2=2 只脚，要减少 50 只脚，就要换 50÷2=25 头鸡，这样就求出了鸡的头数。

　　解法一：

　　(4×100-350)÷(4-2)=25(头)⋯⋯鸡，100-25=75 (头)⋯⋯兔。

　　或者 (350-2×100)÷(4-2)=75(头)⋯⋯兔，100-75=25 (头)⋯⋯鸡。

　　解法二：

　　设：鸡有 x 头，则兔有(100-x)头。

　　2x+4×(100-x)=350，解之得 x=25。

　　100-25=75(头)⋯⋯兔。 答：鸡有 25 头，兔有 75 头。

　　例 2 光明书店卖出甲、乙两种书共 120 本，甲种书每本 5 元，乙种书每本 3.75 元，卖出的甲种书比乙种书多收入 162.5 元。甲、乙两种书各卖出几 本?(《小学生数学报》第五届初赛题)

　　分析 1：假设全部卖出的为甲种本，则甲种本比乙种本多收入 5×120-3.75×0=600 元，比实际的相差数多 600-162.5=437.50 元。如果甲种本换 一本为乙种本(也就是甲种本少卖一本，乙种本多卖一本)，那么甲种本的收入比乙种本少 5+3.75=8.75 元，要减少 437.50 元，就要换几次(也就是 乙种本的本数)， 437.50÷8.75=50(本)。

　　解法 1：

　　(5×120-162.5)÷(5+3.75)=50(本)⋯⋯乙种本，120-50=70(本)⋯⋯ 甲种本。

　　分析 2：假设甲、乙各卖出 120÷2=60 本，则甲比乙多收入(5-3. 75)×60=75 元，比实际的相差数少 162.5-75=87.5 元(说明甲不止 60 本)。 如果乙换一本为甲，那么乙的收入比甲少 5+3.75=8.75 元，要增加 87.5 元， 就要换几次(也就是需要增加甲种本的本数)， 87.5÷8.75=10 (本)，所以卖出的甲种本有 60+10=70(本)。

　　解法 2：

　　[162.5-(5-3.75)×(120÷2)]÷(5+3.75)=10(本)

　　60+10=70(本)⋯⋯甲种本，

　　60-10=50 (本)⋯⋯乙种本。 答：卖出的甲种本有 70 本，卖出的乙种本有 50 本。

　　例 3 有 1 元、5 角、2 角三种人民币 11 张，共值 4.7 元，其中 2 角的 张数比 5 角多 3 张。三种人民币各有几张?

　　分析：由于 2 角与 5 角的张数不同，在调换时较难进行。如果 5 角多 3 张，那么题意改为“有 1 元、5 角、2 角的人民币共 11+3=14 张，共值 4.7+0.5×3=6.2 元(62 角)，其中 2 角的张数与 5 角的同样多，求各有几张?”再 用假设法解题。

　　根据以上的改题，可以假设全是 1 元(10 角)的，则共值 10×14=140 角，比实际多 140-62=78 角，如果用 2 张 10 角的，调换：1 张 2 角、1 张 5 角的(总张数不变)，那么可少 10×2-2-5=13 角，要减少 78 角，就要换几 次(也就是 2 角或 5 角的张数)， 78÷13=6(张)，就是原来 2 角的有 6 张，原来 5 角的有 6-3=3 张。

　　解法：

　　[10× (11+3)-(47+5×3)]÷(10×2-2-5)=6(张)⋯⋯2 角，6-3=3(张)⋯⋯5 角， 14-2×6=2(张)⋯⋯1 元。

　　答：1 元有 2 张，5 角有 3 张，2 角有 6 张。

　　如果原题中“2 角的减少 3 张”，你能解答吗?你能用列方程的方法解 答吗?

　　通过以上例题，可以看到用假设法解答“鸡兔问题”时，它的一般解题 规律是：

　　(1)假设结果(如笼中都是兔);

　　(2)求出相差(如脚的只数与某一已知条件有“差异”);

　　(3)进行调换(如一只兔调换一只鸡，使兔的只数减少);

　　(4)由甲入手，求出是乙(假设笼中的动物都是兔，但先求出的倒是鸡 的头数)。