10. 7 7 7 …… 7所得积末位数是_____.

　　50个

　　答案：

　　6.  3

　　仔细观察题中数表.

　　1  2  3  4  5       (奇数排)

　　第一组

　　9    8  7  6       (偶数排)

　　10  11  12  13  14  (奇数排)

　　第二组

　　18  17  16  15  (偶数排)

　　19  20  21  22  23  (奇数排)

　　第三组

　　27  26  25  24  (偶数排)

　　可发现规律如下:

　　(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；

　　(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.

　　(3)10 9=1…1，10在1+1组，第1列

　　19 9=2…1，19在2+1组，第1列

　　因为1992 9=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上.

　　7.  7

　　=0.57142857……

　　它的循环周期是6，具体地六个数依次是

　　5，7，1，4，2，8

　　110 6=18…2

　　因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.

　　8.  35

　　因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.

　　9.  853,570,568,8255.

　　不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为1991 7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3 284+1=853(个),9的个数是2 284+2=570(个),4的个数是2 284=568(个).这些数字的总和为

　　1 853+9 570+4 568=8255.

　　三、拓展提升

　　1. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8 9=72,在9后面写2,9 2=18,在2后面写8,……得到一串数字:

　　1  9  8  9  2  8  6……

　　这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

　　2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？

　　3. 设n=2 2 2 …… 2，那么n的末两位数字是多少？

　　1991个

　　4．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

　　答案：11.  依照题述规则多写几个数字:

　　1989286884286884……

　　可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4) 6=330…5，所以所求数字是8.

　　12.  1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990 10=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.

　　13.  n是1991个2的连乘积,可记为n=21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:

　　n    n的十位数字    n的个位数字    n    n的十位数字    n的个位数字

　　21    0    2    212    9    6

　　22    0    4    213    9    2

　　23    0    8    214    8    4

　　24    1    6    215    6    8

　　25    3    2    216    3    6

　　26    6    4    217    7    2

　　27    2    8    218    4    4

　　28    5    6    219    8    8

　　29    1    2    220    7    6

　　210    2    4    221    5    2

　　211    4    8    222    0    4

　　观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为20.因为1990 20=99…10，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以,n的末两位数字是48.

　　14.  因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.

　　6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.

　　由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:

　　2 [(100-10) 30]+1

　　=2 3+1

　　=7(段)

　　[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.

　　（十四） 植树问题

　　只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做"植树问题"。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的）。

　　封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系：

　　1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：

　　但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：

　　如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：

　　2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：

　　植树问题的三要素：

　　总路线长、间距(棵距)长、棵数．

　　只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．

　　植树问题的分类：

　　⑴直线型的植树问题　⑵封闭型植树问题　⑶特殊类型的植树问题

　　一、例题与方法指导

　　例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?

　　思路导航：

　　每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。

　　例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?

　　思路导航：